الرياضيات المتخصصة: ورقة الليلة الأخيرة

الكسور الجزئية (في الأوراق الأربع التي قرأناها)
١. حلّل المقام. ٢. لكل عامل مكرر س² اكتب أ÷س + ب÷س². ٣. عوّض بأصفار المقام لتجد بعض الثوابت. ٤. قارن معامل أعلى قوة لتجد الباقي.

جذور العدد المركب (في الأوراق الأربع التي قرأناها)
١. اكتب العدد [ر، هـ°]. ٢. الجذر النوني: مقياسه ر^(١÷ن). ٣. السعات (هـ + ٣٦٠°ك) ÷ ن لـ ك = ٠، ١، …، ن − ١. ٤. اكتب كل الجذور، لا جذراً واحداً.

الصورة القطبية لـ أ + ب ت
١. ر = √(أ² + ب²). ٢. حدد الربع من إشارتي أ و ب. ٣. الزاوية المرجعية ظا⁻¹|ب÷أ| ثم عدّلها حسب الربع. ٤. ر(جتا هـ + ت جا هـ).

طول المماس من نقطة
١. اجعل معامل س² و ص² يساوي ١ (اقسم). ٢. عوّض النقطة في الطرف الأيسر. ٣. الطول = جذر الناتج. إذا أُعطي الطول: ربّعه وساوِه بالناتج لتجد الثابت.

معادلة الدائرة
قطر بنهايتين: المركز المنتصف ونق نصف المسافة. ثلاث نقاط: عوّض في س² + ص² + ٢ل س + ٢ك ص + جـ = ٠ وحل. المركز على مستقيم: المركز (ل، ك) يحقق المستقيم + بعدان متساويان.

المركز ونصف القطر
١. اقسم حتى يصبح معامل س² = ١. ٢. المركز (−ل، −ك) أي نصف معامل س بعكس الإشارة. ٣. نق = √(ل² + ك² − جـ). إذا كان تحت الجذر سالباً فليست دائرة.

«أثبت أن» بالمشتقة الثانية (٢٠٢٦)
١. اشتق المعادلة ضمنياً مرة. ٢. اشتق مرة ثانية (قاعدة الضرب). ٣. عوّض في المطلوب واختصر حتى الصفر. مثال: س ص = ٥.

المشتقة بالمبادئ الأولية
١. د(س + هـ). ٢. د(س + هـ) − د(س). ٣. اقسم على هـ واختصر. ٤. نهـا عندما هـ ← ٠. لا تشتق بالقاعدة: الدرجة على الطريقة.

النهايات
نظريات النهايات: عوّض النهايات المعطاة مباشرة. جا أس ÷ ب س ← أ ÷ ب. صفر÷صفر: حلّل واختصر. عند ∞: قارن أعلى القوى.

الحركة
ف ← اشتق ← ع ← اشتق ← جـ. وبالعكس: جـ ← كامل ← ع ← كامل ← ف، ثم استعمل الشرط لتجد ث. أقصى ارتفاع أو بعد: ع = ٠.

تكامل جا² و جتا² (٢٠٢٤ و ٢٠٢٦)
جا² أ = ½(١ − جتا ٢أ)، جتا² أ = ½(١ + جتا ٢أ)، ثم كامل حداً حداً.

التعويض والتجزئة
تعويض: إذا ظهرت مشتقة الداخل (س جا س² ← ع = س²). تجزئة: ∫ س جتاس ← ع = س. منحنى من ميله: كامل ثم عوّض النقطة لتجد ث.

تكوين الأعداد والألفاظ (في الأوراق الأربع التي قرأناها)
١. ابدأ بالخانة المقيّدة (الآحاد للفردي أو الزوجي، الحرف الأول والأخير). ٢. لا صفر في المئات. ٣. «مختلفة» تعني بلا تكرار. ٤. إذا كان الصفر ضمن الأرقام قسّم إلى حالات.

اللجان والترتيب بشرط
لجنة: ⁿق_ر لكل فئة ثم اضرب. رئيس من فئة: اختر الرئيس أولاً. كتب كل مادة متجاورة: |عدد المواد × |داخل كل مادة. «على الأقل»: الكل − الحالة الممنوعة.

معادلات المضروب
|ن + ١ = (ن + ١)|ن. اختصر الأكبر حتى يبقى حاصل ضرب أعداد متتالية، ثم جرّب. ⁿق_ر = ⁿق_(ن − ر).

حد معين في مفكوك ذات الحدين (في الأوراق الأربع التي قرأناها)
١. الحد العام ح_(ر+١) = ⁿق_ر (الأول)^(ن − ر) (الثاني)^ر. ٢. اجمع قوى س. ٣. ساوِ القوة بالمطلوب (صفر للخالي من س). ٤. الأوسط: الحد (ن÷٢ + ١) عندما ن زوجي. «تصاعدية»: ابدأ بالحد الأصغر قوة.

المصفوفات (في الأوراق الأربع التي قرأناها)
تساوي: العناصر المتناظرة متساوية. المنقول: الصفوف أعمدة. متماثلة: أ = منقولها. الضرب: صف في عمود. المحايد الضربي: مصفوفة الوحدة.

الانحراف المتوسط
١. الوسط. ٢. |س − الوسط| لكل قيمة (× التكرار إن وجد). ٣. المجموع ÷ عدد القيم (أو مجموع التكرارات).

المنوال بالطريقة الدقيقة
فئة المنوال أكبر تكرار. ف₁ = تكرارها − السابق، ف₂ = تكرارها − اللاحق. المنوال = الحد الأدنى + ف₁ ÷ (ف₁ + ف₂) × طول الفئة.

الوسيط من جدول
ترتيبه مجموع التكرارات ÷ ٢. من المتجمع الصاعد حدد الفئة. الوسيط = الحد الأدنى + (الترتيب − المتجمع السابق) ÷ تكرار الفئة × طولها.

عدد القيم من التباين (٢٠٢٦)
التباين = مجموع المربعات ÷ ن − الوسط². عوّض وحل لـ ن.

الاحتمال (في الأوراق الأربع التي قرأناها)
على الأقل أحدهما: ح(أ ∪ ب) = ح(أ) + ح(ب) − ح(أ ∩ ب). عدم أ أو عدم ب = ١ − ح(أ ∩ ب). ب فقط = ح(ب) − ح(أ ∩ ب) = الاتحاد − أ فقط − الاثنان. متنافيان: ح(أ ∩ ب) = ٠.

السؤال الأول: تعاريف تتكرر
التبديلة: ترتيب مع مراعاة الترتيب. التوفيقة: اختيار بلا ترتيب. الانحراف الربيعي = نصف (ر₃ − ر₁). مربع الانحراف المعياري = التباين. الدائرة: نقاط على بعد ثابت من نقطة ثابتة.

فخاخ الصح والخطأ
نهـا(د × هـ) ليست مجموع النهايتين. ∫ دالة فردية على [−أ، أ] = صفر. س² + ص² + … دائرة فقط إذا ل² + ك² − جـ > ٠. أ ⊆ ب ⟹ ح(ب) ≥ ح(أ). مرافق أ + ب ت هو أ − ب ت.