Gene Academy · With G · للطالب الذي يحفظ القوانين ولا يرى من أين جاءت. اقرأ بالترتيب، وجرّب كل سؤال قبل فتح الإجابة.
١. الدائرة كلمة لها معنى واحد
الدائرة = كل النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة واحدة. النقطة اسمها المركز، والبعد اسمه نصف القطر (نق). هذا هو التعريف الذي يطلبه السؤال الأول في الشهادة.
جرّب: النقطة (٣، ٤) تبعد كم عن الأصل (٠، ٠)؟بفيثاغورس: √(٣² + ٤²) = √٢٥ = ٥. إذن (٣، ٤) تقع على الدائرة التي مركزها الأصل ونصف قطرها ٥.
٢. المعادلة هي فيثاغورس، لا قانون جديد
من أي نقطة (س، ص) على الدائرة إلى المركز (أ، ب): المسافة الأفقية س − أ، والرأسية ص − ب، والوتر هو نق. فيثاغورس يعطي مباشرة: (س − أ)² + (ص − ب)² = نق² هذه «الصورة القياسية». في كتاب الرياضيات (2) ص ١٤٨ يُكتب المركز (د، هـ)، فتصبح (س − د)² + (ص − هـ)² = نق². الفكرة نفسها والحرف مختلف؛ اكتب في الامتحان بحروف الكتاب. إذا كان المركز الأصل: س² + ص² = نق².
جرّب: معادلة الدائرة التي مركزها (٢، −١) ونصف قطرها ٣؟(س − ٢)² + (ص + ١)² = ٩. لاحظ: −(−١) صارت + ١. الإشارة داخل القوس عكس إحداثي المركز، لأننا نطرح المركز.
٣. لماذا تظهر المعادلة أحياناً «مفكوكة»
إذا فككنا الأقواس وجمعنا كل شيء في طرف واحد نحصل على «الصورة العامة»: س² + ص² + ٢ل س + ٢ك ص + جـ = ٠ هي نفس الدائرة مكتوبة بطريقة أخرى. المركز (−ل، −ك)، و نق = √(ل² + ك² − جـ).
٤. من الصورة العامة إلى المركز ونصف القطر (أكثر ما يُسأل)
الخطوات: (١) إذا كان معامل س² ليس ١ فاقسم المعادلة كلها عليه. (٢) المركز = نصف معامل س ونصف معامل ص بعكس الإشارة. (٣) نق = √(مربع إحداثي المركز الأول + مربع الثاني − الثابت).
عوّض النقطة في الطرف الأيسر للصورة العامة: سالب = داخل، صفر = على الدائرة، موجب = خارج. والرقم الموجب نفسه هو مربع طول المماس من تلك النقطة. لهذا طول المماس = √(الناتج).
جرّب: طول المماس من (٤، ٣) للدائرة س² + ص² − ٢س + ٤ص − ٤ = ٠١٦ + ٩ − ٨ + ١٢ − ٤ = ٢٥، فالطول ٥. وإذا أُعطي الطول وطُلب ثابت (ورقة ٢٠٢٦): ربّع الطول وساوِه بهذا الناتج.
٧. المماس عند نقطة على الدائرة
المماس يمسّ الدائرة في نقطة واحدة ويتعامد مع نصف القطر عندها. الطريقة: ميل نصف القطر من المركز إلى النقطة، ثم ميل المماس = −١ ÷ ذلك الميل، ثم معادلة المستقيم من النقطة.
جرّب: المماس للدائرة س² + ص² = ٢٥ عند (٣، ٤)ميل نصف القطر ٤÷٣، فميل المماس −٣÷٤: ص − ٤ = −¾(س − ٣) أي ٣س + ٤ص = ٢٥.
٨. إيجاد دائرة من معلومات (السؤال الرابع)
قطر بنهايتين: المركز منتصفهما، ونق نصف المسافة بينهما. ثلاث نقاط: عوّض كل نقطة في الصورة العامة فتحصل على ثلاث معادلات في ل، ك، جـ. نقطتان والمركز على مستقيم: المركز يحقق معادلة المستقيم، وبعده عن النقطتين متساوٍ.
جرّب: الدائرة التي نهايتا قطر فيها (١، ٣) و (٥، −١)المركز (٣، ١)، نق² = (٥ − ٣)² + (−١ − ١)² = ٨: س² + ص² − ٦س − ٢ص + ٢ = ٠.
تابع في التطبيق
في With G افتح مادة الرياضيات ثم مهارة «الدائرة» وحل الأسئلة بالترتيب: أولاً أسئلة الفهم (هذا الدرس)، ثم المركز ونصف القطر، ثم طول المماس، ثم معادلة المماس، ثم الدائرة من نقاط. إذا أخطأت يشرح لك التطبيق السبب.